针对您提出的问题，虽然租客在房租到期后继续居住并拒绝支付房租的行为违反了租赁合同，但您并不能直接强制其搬离。根据《中华人民共和国合同法》及相关法律规定，您应先与租客进行协商，若协商无果，可以收集租客违约的证据，并向当地法院提起诉讼，等待法院的宣判来执行搬离。在法院宣判前，您无权直接采取强制措施。
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若租客在房租到期后提出降租要求，您可以根据以下情况应对：1. 若同意降租，应重新签订租赁合同，明确降租后的租金及租期；2. 若不同意降租，应明确告知租客，要求其按时搬离并支付所欠房租；3. 若租客既不搬离也不支付房租，则按照法律程序，收集证据并向法院提起诉讼。
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从法律角度，您可以通过以下方式维护自己的权益：1. 保留租赁合同及相关证据，证明租客违约；2. 给予租客合理期限搬离并交清房租，若其不配合，则向法院提起诉讼；3. 在诉讼过程中，可申请诉前财产保全，确保房内财产不受损失；4. 法院宣判后，依据判决结果执行搬离及追讨欠款等事宜。

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